AI总结
对话探讨了射影几何与相对论时空结构的关联，通过光锥不变性推导洛伦兹变换，揭示双曲几何模型与狭义相对论的对应关系。讨论延伸至数学公理体系的矛盾性问题，涉及哥德尔不完备定理对数学基础的冲击，以及数学与物理理论发展的辩证关系。
以上由AI大模型生成，可能包含不准确的信息。
说话人1 00:00:08
世界或者整个宇宙是什么呢？整个宇宙就是这个单位。到H自身好，那么作为一条射影直线，那么与这个原子曲有没有公共点？这个性质的话，越来越高。你看孙悟空呢，一个筋斗108000里会。
说话人2 00:00:53
好。
说话人1 00:00:54
这一面呢，就需要有一个结论了，就是如果说射影平面一个射影变化，它保证光锥不变，那么必然把光锥内部引为光锥内部，把光锥外部引为光锥外部，这个是为什么呢？这个就是因为射影曲一个圆锥曲线内部。
说话人2 00:01:13
它是一个四五性质。
说话人1 00:01:15
这个是大家做过一道习题，大家不知道有没有印象。这个其实很容易的，为什么圆锥曲线内部是一个射影性质呢？因为你可以这样来看，圆锥曲线内部，你任意做一条直线与这个圆锥曲线是具有公共点落在外部的话呢。
说话人2 00:01:33
就不是圆好。
说话人1 00:01:35
那么作为一条射影直线，那么与这个圆锥直线有没有公共点这个性质的话呢，很明显是在射一量化线形变的。所以说，我们就可以得到，只要保持光锥不变，它就必然把内十区域印为内十区域，所以说就必然把内实直线印成内时直线。
那么，因此，我把它限制在这个C马上面，那么就可以进一步证明它151是一个等级变化。
说话人2 00:02:03
这是。
说话人1 00:02:04
这个呢，具体的证明过程呢，我们就不给大家介绍了，这个是大家如果有兴趣的话，大概在下一个学期我们的课程里面会给大家介绍好。这个变换的话呢，我还要给大家介绍，一是它有一个非常有趣的是这个变换律。
说话人2 00:02:23
叫做洛伦兹变。
说话人1 00:02:29
这个名没有，但是呢，我们接下来谈到它的历史的时候一。我相信很多同学的第一感觉一。这个模型是不是数学家畅想出来的一个童话世界？
说话人2 00:02:56
的确。
说话人1 00:02:56
从某种意义上，它真的是很像童话。比方说。我们画出这个圆，其实本质上是在用上帝视角去看待这个世界。好在这个世界里面的一个人从A点走到B点，那么他就和我们一这样的不一样，他没有觉得自己身体在变化。
说话人2 00:03:20
周边的景物也没有发全变化。但是呢。
说话人1 00:03:25
我们如果从一个上帝视角来看就不一样了。从这个上帝视角来看的话，这个人越来越靠近边界的时候，他的身体就越缩越紧。
说话人2 00:03:36
所以说。
说话人1 00:03:36
他第一步迈出就是1米1，后来就变成了1/2米，1/4米，1/8米。所以说，尽管他觉得他自己身体没有变小，但是我们从上帝视角来看，他的的确确就是在变小。
说话人2 00:03:49
那么，他迈出的步伐呢。
说话人1 00:03:51
一步比一步短。所以说的话，他外出无穷脱鬼也永远也不可到达这个边缘。这个呢，就是我们从上帝视角来看所得出来的一个。那么，这个人为什么他走路过程中没有发觉有什么异样呢？这是因为他整个世界呢，是和他成比例收缩的。
他在走的时候，人在缩小，那身体呢，比如说这个桌子、椅子包括树木全部都在成比例的缩小。所以他相对来看，他不会感觉任何局任何不正常的地方。但是呢，从我们上帝视角来看的话，的的确确的非常非常有意思的一个现。
所以说。
说话人2 00:04:34
从某种意义上来说。
说话人1 00:04:36
这样的一个模型，或者说这个双曲双曲几何的模型很像什么呢？很像如来佛的手掌心。而且从某种意义上来说，它比如来佛的手掌心呢，还厉害，如来佛的手掌心呢，虽然很厉害，是悟空呢，一个筋斗108000里，没有干死他的手掌心，但好歹呢，还到达他手掌心的边界。
但是呢。你在这样的一个圆圈里面，那么你不要说108000里了，你无论走上多少里，走他短九上一光年，十光年，你永远都离这个边界的有五穷远。
说话人2 00:05:16
这叫做咫尺天移。
说话人1 00:05:20
好了，一个有另外一个有趣的问题就产生了，正像一开始的时候，很多数学家质疑非欧几何，就是说非欧几何在现实中呢，根本就不可能有实际的应用，那么我们去研究这个干嘛呢？难道就是纯粹的吃饱了没事儿干，在那里当个消遣了很长一段时间里面呢，数学家？
是这的，但是呢，直到有一天，大家才终于发现这样的一个看似很难理解的圆盘，它的真正的含义的。好，现在呢，我们从我们今天的记号开始，其实我相信的话呢，今天我写出这个记号的时候，有很多同学就可感觉到和我们通常用的记号是不太一样的。
我们通常的话写这个三维欧的空间里面坐标都是X1X2X3,这里面的为什么要用这个XY5呢？这个T代表的是什么呢？
说话人2 00:06:30
好，这个T呢。
说话人1 00:06:32
我告诉大家，它代表的其实就是一。好，这里面的什么内功向量，内功向量内实向量，它其实也是与空间和时间有关的。好，所以说这个模型的背后，它其实呢，它不仅仅是这里面的一些公式，它背后呢，代表了一个崭新的一个时空观念。
好，那么你要问这个崭新的这个时间和空间的观点是什么？我们不妨来看一看传统的时间管理。好要提到传统的时间观点的话呢，我们与其去看那些抽象的大部头书上面的一条条定义，那么还不妨来看一看这个从古到今一些脍炙人口的一些文学作品。
从这些作品里面呢，其实呢，也就体现了从古到今大家对于时间的观点。首先呢，我要给大家介绍的是。在西汉的时期，当时有一首著名的古诗叫做长歌行，里面曾经说到，青青园中葵，朝露待紫曦。阳春布德泽，万物生光辉。
常恐秋节至，J黄花叶催。百川东茂台何日复西归，少壮不努力，老大。从这里面就体现出来了古人对于四季轮回，以及时间一去不复返的一种感感。
说话人2 00:08:24
时间来到了20世纪。
说话人1 00:08:26
当时的我国一位著名的散文家叫做朱自清。他当时呢，也写了一本脍炙人口的一种散文。从这个散文里面呢，也体现出来了他对时间的一种感情。爱怀燕子去了，有再来的时候，杨柳枯了，有再青的时候，桃花谢了，有再开的时候。
说话人2 00:08:50
但是。
说话人1 00:08:51
聪明的你告诉我，我们的日子为什么一去不复返？去的尽管去了，来的尽管来的。去来的中间有怎样的匆匆呢？早上我起来的时候，小屋里射进两三方斜斜的太阳。太阳，它有脚，轻轻悄悄地挪进来，我也茫茫然跟着悬着。
说话人2 00:09:16
于是。
说话人1 00:09:16
洗手的时候，日从嘴唇里过去，吃饭的时候，日从犯碗默默时便从林然的双眼走过去。我觉察到去的匆匆，伸出手遮碗时，他又从遮碗的手淹过去。天黑时，我躺在床上，它便伶伶俐俐的从我身上跨动，从我脚边飞去，等我睁开眼和太阳再见，这算一个6折。
我掩着面叹息，但是新来的日子的一儿又开始在叹息里闪过了。你聪明的告诉我，我们的日子为什么一去不复返了？那么在朱自清创作了这部脍炙文言的散文之后10年。当时还是一个从北京来的一个小青年，来到了祖国大西北的广袤的土地的时候，他突然感觉到自己的青春呢，那么正在慢慢的逝去。
从而呢，他借助于当时少数民族的曲调呢，创作了一部非常有名的，也是能够体现出对时光流逝感慨的一首歌。这首歌的名字叫做清风一吹。
说话人2 00:10:40
太阳下山，明早依旧爬上来。花儿，谢了，明年还是一样开美的小鸟一去无踪影。我的青春小鸟一样不回来，我的青春小鸟一样不回来。别那，别那。我的青春小鸟一样不回来，回来了，别来了，我的青春小鸟一样不回来。
好。
说话人1 00:11:18
现在我们再来看一看，从这些文学作品里面所提升出来就有的时间观念是什么。其实呢，这个观念的话呢。体现在两个方面。从古到今，人们都认为第一面时间它对应的一种周期性的一种运动。请大家想一想，如果没有一天天这个太阳上山下山昼夜网，没有一年四季的轮回，我们怎么可能知道什么时候是一天。
什么时候是一天呢？也就是说时间它的的确确是用一种周期性运用计算的，但是另外一点呢，这个时间呢，也的的确确是在均匀的流逝的，它不受任何人的抑制。是我影响，按照传统观念来看，你不要说让时间停止，让时间倒流，哪怕是让时间稍稍减慢一点脚步也是不可能的。
记得著名的物理学家牛顿，就提出来一种非常好的，其实大家非常能够接受的一个观点。
说话人2 00:12:32
叫做绝对时间和。
说话人1 00:12:54
按照牛顿的观点来看，时间和空间是相互没有影响的。
说话人2 00:13:00
你时间的话呢。
说话人1 00:13:01
不受我们状态的所影响。好，最初最终牛顿呢，就在绝对时间和绝对空间这个基础上面求提出来了牛顿三大定律好了，通过牛顿三大定律的话呢，就可以推出一个非常显而易见，大家都能接受的一那论，就是任意的物体，它无论是跑得多快都可以被追逐来。
你说猎豹跑得快了，人是追不上，但是呢，人只要发明不汽车，它和猎豹跑的一样快了，那就可以打猎豹。你说老鹰飞得快，人当然也追不上，但是呢，人可以发明飞机，只要飞机呢，和老鹰飞得一样快。那么人就已经追上飞机了，人就可以追上老鹰了。
那么当时的话呢。
说话人2 00:13:48
就有很多物理国家去畅想这样的一个画面。
说话人1 00:13:54
我们知道光它是世界上跑的最快的东西。那么一旦我们一天人类随着科技的发展造出一个东西，它和光跑的一样快，那么我们看到的静止的光将是怎么样子的？这个当然我们人类的话呢，在当时的一个情况下呢，还没有办法照出和光一样快的东西。
但是呢，按照牛顿力学，我们至少可以得出这样的一个结论，就是光速不可能是恒定不变的。你在某一个情况下的话呢，光速是1加那个数值。那么我们按照朝另外一方面运动，或者朝着反方向运动的话，光肯定会它的速度发生改变。
这个是牛顿力学的话呢，可以真真切切把它推出来。所以说后来的话呢，在19世纪末的时候，当时就设计了一个非常非常非常靠花钱一个事，大家想通过这个事件的话呢，去看看光在不同的这个惯性参考系下面，它的差异认定。
说话人2 00:15:06
但是呢。
说话人1 00:15:07
非常遗憾的是。
说话人2 00:15:09
这个并没有得到所有的5女感想的到一大家发现了一个很奇怪的事实。
说话人1 00:15:16
就是在无论什么情况下，你撤王没有战争差评。
说话人2 00:15:21
这个怎么怎么回事呢？当时有一个物理学家，就是洛伦兹变换形这里面的一个洛伦兹。他提出了一个观点，他说呢。
说话人1 00:15:36
牛顿力学没有问题，问题是出在了就是呢，在我们进行光度测量的时候的话呢，由于测量的条件的改变，那么就可以使得物体的发现成齿波效应和中漫效应。
说话人2 00:15:54
最终的话呢。
说话人1 00:15:55
造成这个光速的没有了齿波效应。中漫效应的话呢，其实它就写出了一个公式叫做洛伦之变化，这个洛伦之变换的关，后来大家发现与这个变化竟然没有任何区别。
说话人2 00:16:09
当然都是后话。好了。
说话人1 00:16:14
这个问题是否就得到解决了？这个呢，我们不能不说这个洛伦制的话呢，有点像我们这门课之前所提到的数学家萨凯里，萨凯里的话呢。他在三角形内角和小于180°形。
说话人2 00:16:33
他推出了很多结论，但是呢。
说话人1 00:16:35
他没有勇气的说明他已经发现的一新的一种结论。那么洛伦是这样，他所提出的洛伦之变换的话，其实呢，它也是非常非常在将来的相对论里面，也是一个非常重要的一个技术性的成果，但是呢，他没有勇气说他已经发现了一种新的物理。
针对以什么人敢于勇气的有勇气提出新的物理学呢。
说话人2 00:17:04
就是爱因斯坦。
说话人1 00:17:06
在1905年的时候，爱因斯坦发表了一篇。在物理学史上面具有里程碑式的论文，好在这一篇论文里面，爱因斯坦呢，就在两个最基本的假设下面推导出来了狭义相对论。好，哪两条最基本的假设呢？第一个基本假设就是，任何物理定律在两个惯性参考系下面是保持不变的。
第二个基本假设呢，就是在所有惯性参考系下面，光速都是相同的。好的，通过这两条惯性定律。
说话人2 00:17:44
它就推出了这个多值变化。
说话人1 00:17:48
好，所以说，就在说诺伦兹变换，它其实是什么呢？其实它只是一个表象，真实的。物理学呢。
说话人2 00:17:57
就应该隐含在这五个假设的。又过了两年。
说话人1 00:18:06
爱因斯坦的老师就是。
说话人2 00:18:10
就是我们这一片领空里面的李。
说话人1 00:18:15
他看到了爱因斯坦的模型之后，的话呢，突发奇想就想到了一个米空间这样的一个数学模型。通过这个数学模型的话呢，可以很好的去描述相对论2。而且他还有一个意外的发现，就是通过这个VC模型的话呢，VC空间造出来这个模型，我们就可以提出这个双曲几何的一个数论。
好了，有了广义相对论，有了这个光辉以后，而且又要他们连联系的这个桥梁之后的话呢，大家突然发现呢，这个模型背后的话着其实是有深刻的一意。好，它的物理意义是在什么地方呢？就是说我们在这里一条内直直线。
说话人2 00:19:05
它代表的是什么？
说话人1 00:19:07
代表的是在一个惯性参考系下面，一个做匀速直线的一个物体。好，那么这一两条直线之间的距离，这个如果要翻译成物理语言，就是说它等一下，它通过一个函数关系之后呢，就可以计算出这两个物体之间的一个相对数。
说话人2 00:19:30
好。
说话人1 00:19:30
那么现在的话呢，任意的一条直线到这个边界的距离都是无穷这个。首先，这个边界意味着什么？这个边界呢，就意味着一个光锥，光锥的话，意味着这个光的一。好，那么每一个物体它。到这个边界的距离都是无穷大，那么翻译成物理语言呢，其实也就意味着以任意的一个物体，在它所具的惯性参考系下面测定光速。
光速的话仍然是一个常数，光速不会有丝毫的改变。
说话人2 00:20:10
好，现在我们再来看看从这个群的角度来看。
说话人1 00:20:14
从这个使用的角度来看。这一个等距变换时，它要满足两条，第一个是射影变换，把直线应为直线，第二个保持这个光圈不变。好了，如果物理语言来传译，那么射影变换把直线定为直线。
说话人2 00:20:32
那么其实本质上呢。
说话人1 00:20:33
也就意味着它是两个惯性参考系统间的变化。
说话人2 00:20:39
好，第二个。就是保持光锥不变。
说话人1 00:20:43
其实意味着什么呢？就意味着光速在任何的一个惯性参考题下面都是保证不变的。思好了，所以说这两点假设其实从本质上来说，就给爱因斯坦所提出来的狭义相对论的两个假设呢，是可以相互翻译的。
从而为什么这个变换型正好就是我伦子变换型呢，这个类就比较明确了。所以说。
说话人2 00:21:15
这里面的很多几何命题。
说话人1 00:21:17
就可以翻译成对应的一个物理命题的话呢。
说话人2 00:21:21
就没有问题了。这个时候呢，大家终于意识到了。
说话人1 00:21:27
原来狭义相对论呢。
说话人2 00:21:30
和这个双曲几何里面呢，存在着千丝万缕的联系。
说话人1 00:21:35
那么我们之前呢。
说话人2 00:21:39
所说的狭义相对论和牛顿几何的联系，不是就是说这两种几何欧几何几何和双曲几何之间的差别。其实本质上你看。
说话人1 00:21:52
那么就是牛顿力学相对论力学之间的一个差别。
说话人3 00:21:57
一。
说话人2 00:21:58
这个时候的话呢。
说话人1 00:22:00
大家终于明白了，我们现在感到很困惑，这个可望而不可及的边界究竟是什么呢？现在大家明白了，这个边界呢。
说话人2 00:22:11
其实代表的就是光速。
说话人1 00:22:16
也就是说，我们原来以为呢，这里面呢，描述的是一个童话世界，但是呢，其实呢，我们日常生活中呢，天天都要与这个光来打交道，这个很自然，没有光的话，你能够看见什么呢。
说话人2 00:22:33
所以说。
说话人1 00:22:35
其实，双曲几何，你表面上看起来离我们很远，其实呢。
说话人2 00:22:40
离我们非常非常的近。
说话人3 00:22:48
三。
说话人1 00:22:50
好了，这个问题呢，是否要画上句号呢？其实呢，这个问题呢，没有真正画上句号。从狭义相对论诞生那一天起，其实就有很多物理学家在问爱因斯坦一个问题，你假设光速在任何惯性三导体下面都保持不变，好，那这个是为什么呢？
为什么光速保持不变呢？其实这个问题的话呢，我不知道大家现在有没有犯悟的，如果说没有上这个，我建议呢，大家可以在以后上这门课的时候去问一问老师，为什么光速保持不变呢。其实呢，我相信这个问题，这个老师也没办法回答，其实包括爱因斯坦的话呢，他最多你硬要打破发锅问到底，他也只能告诉你这是上帝安排的。
为什么呢？因为光速不变在狭义相对论里面，它其实本质上它只是一个假设，就是我们假设假设相对相对不变，那么可以推出相对论的所有位置，但这个假设是否成立呢？这个的物理一大不知道。或者说他如果要判断光速是不是不变的，他唯一的办法呢，只有一个，通过试验来验证。
这个呢，就是现代自然科学所发展的。一个基本的一个框架。现代自然科学的话，它不排斥这个逻辑推理，但是它是在基本的假设上面进一逻辑推理，而这个基本假设成不成立呢？从逻辑上是没有办法判断的，就是说我们假设这个世界是怎么样，那么这个世界是不是真的怎么样呢？
只有通过试验，通过成千上万的实验数据来实现。那么直到现在为止，那么我们人类呢，的的确确还没有发现呢，光速可能改变的一些实验依用，所以说直到目前为止的相对论的这个真实性还是值得信赖的。
但是呢。
说话人2 00:25:03
有一点就是呢，看一。
说话人1 00:25:07
这个就像我们这门课一开始所说的那样，就算你发现了上万只白天鹅，你也不能保证某一天你会就会发生，发生发现一只黑天。对，物理学就是这样，只要有一天我们找到了一个实验依据，说明光速在某些情况下会发生改变，那么相对论我们不能说它全部不对，但至少来说在某些条件下是不可能。
这个呢，就可以说这不仅仅是物理学发展的一个悲哀，而且是所有的自然科学发展的一个悲哀。
说话人2 00:25:44
就是他所得出来的所有结论。
说话人1 00:25:47
他只是呢，只能够认为不能够证人。我们只有一天可能发现它错的可能性，但是呢。
说话人2 00:25:55
你过上一万年，过上十万年。
说话人1 00:25:57
你直到地老天荒，你也没办法证明这个这个东西永远来不及。而且这个定义域史呢，也证明呢，自然科学就存在一个推翻了再重。
说话人3 00:26:10
推翻了再实践的这样一好了，这个我接下来的问题就来了。
说话人2 00:26:18
那么作为数学而言。
说话人1 00:26:21
数学和自然科学必然是有一些区别的，那么数学的真理它是怎么样验证呢？显然它不是通过试验来验证的，那么它是通过什么来验证的？好，这个问题的话呢，在19世纪末的时候，引起了数学家们很多的反。
当时有一些数学家有这样的一个观点。
说话人2 00:26:49
就是一个公理系统只要是没有矛盾的，它就应该会缺爱。
说话人1 00:26:56
所以说，从这个意义上说，只要欧式几何没有矛盾，那么双曲几何也就没有矛盾，这一同圆几何没有矛盾。
说话人2 00:27:03
它1可1成双曲几何。
说话人1 00:27:07
所以说他们都可以被看作人民。这个是当时有一种子不流的观点，但是呢，令这个观点呢，马上就遭到了一些数学家的批评。
说话人2 00:27:21
他说你这个假设呢。
说话人1 00:27:23
是有一个前提的。
说话人2 00:27:25
你假设欧氏几何没有矛盾，那就不可两个有矛盾。
说话人1 00:27:28
但是为什么这个欧氏几何就没有矛盾呢？好这个问题的话呢。的的确确是值得深入的探讨的，非有几何的发展的话呢。
说话人2 00:27:44
其实呢。
说话人1 00:27:45
它是一个在第一在数学史上面非常具有颠覆性的一，他其实呢，就把这个欧氏几何这个绝对真理论在很长一段时间里面。
说话人2 00:27:56
他是一个绝对真理的地位的样子。
说话人1 00:27:59
既然它从绝对真理退化为相对真理，那么大家自然就用这个相对定理是否成立了。好，当时有一种观点，就是说我们能不能够把这个相对真理，建立在一个性质更加好的绝对真理的进程。而且当时的话呢，随着这个集合论的发展。
当时很多数学家就发现了，你无论当时的所有的数学分支，包括分析也好，代数也好，几何也好，它都可以建立在集合论文。
说话人2 00:28:38
当时甚至有些数学家还写了一本大部头的书。
说话人1 00:28:43
就是试图在集合论的观点下面推导出所有的数学分支里面的结论。但是呢，就当这本书即将完工的时候，这个数学家突然收到了一个年轻人的来信。这封来信的话呢，觉得整个数学的大厦都快被坍塌了。
这个年轻人呢，就是罗素。罗素的话呢，从当时集合论的语言的话呢，找到了一个有趣的悖论。
说话人2 00:29:10
叫做罗素悖论。这个罗素悖论当然这今天呢。
说话人3 00:29:13
不是我们给大家介绍。
说话人2 00:29:16
但是呢。
说话人1 00:29:16
我们需要说明一点。
说话人2 00:29:17
就是如一个理论公底体系，只要出现了一个规则。
说话人1 00:29:23
其实呢。
说话人2 00:29:23
已就说明了这个功率体系不行。
说话人1 00:29:27
所以说第三次数学晰就如此爆发出。
说话人2 00:29:32
那么后来数学家想。
说话人1 00:29:33
那么怎么样去解决这样的一场晰呢？有的数学家的观点就是说集合论它也需要一套公理系统，所以说他们的的确确的创造了这样一套公理系统，在这个公理系统里面的话呢，罗素悖论不再会产生，但是呢。
罗素悖论不产生，那么将来会不会产生什么张数悖论、李数悖论呢？那么你说的这套集合论的新的功率体系，它一定就是没有矛盾的吗？当时的话呢，仍然遭到了很多数学家的质疑。
说话人2 00:30:09
后来呢。
说话人1 00:30:10
就是我们给大家反复介绍了一个数学家，就是人类公认为人类最后一位通晓所有数学分支的全才者西尔伯特，他提出来一个庞大的一个计划。
说话人2 00:30:25
叫做西尔伯特计划。
说话人1 00:30:28
或者叫做西纲领。好，希尔伯特纲领呢，是非常非常复杂的，这个呢，当然我们这里面呢，不可能把他的所有细节给介绍给大家，但是呢，我们可以大致的说一下，希尔伯特纲领的话呢，首先就是把所有的公理体系要形式化。
所谓形式化的话呢，就是尽量的用这个形式逻辑的语言，而不是用我们的自然语言，因为自然语言的话呢，其实呢，在某些情况下是存在歧义的。假如说自然语言的歧义的话呢，其实我我觉得一个非常好的一个例子，就是我我之前我在我在网上面看到的关于小学生的，他做了一个判断题，那个判断题是判断这个命题是否正确。
那个是什么就是。三角形任意的一个三角形的话，里必有至少有一个对而请大家注意。
说话人2 00:31:41
这一个我没有说没有1它这个肯定的O是几何线。
说话人1 00:31:47
任意的一个三角形。
说话人2 00:31:49
一个角是锐角。那说很多学生都能家长觉得你肯定是勾不通。
说话人1 00:31:57
你一个三角形肯定是至少存在一个角外定。但是没想一到参考的答案是一定错的。
说话人2 00:32:05
为什么错呢？
说话人1 00:32:07
正确答案是。任意给一个三角形，至少有两个角。
说话人3 00:32:12
四角这个呢。
说话人1 00:32:15
就体现了一什么？体现了一种自然言的五头。
说话人2 00:32:20
你如果我们用形式语言来说。
说话人1 00:32:22
就是说给定一个三角形。
说话人2 00:32:24
存在一个角，使得这个角是对的。
说话人1 00:32:27
我相信没有任何一个人会觉得这个。好，这个就是一个很好的一好了，你可以把它形式化了之后，那么现在我们把一个理论的话呢，叫公理化。
说话人2 00:32:41
公理化呢。
说话人1 00:32:42
就是说我们要提出很多命题，这个命题的话呢，它其实有一些是命题，有些是公理。
说话人2 00:32:51
好。
说话人1 00:32:51
那么有了公理之后。
说话人2 00:32:53
咱们再来判断这个。
说话人3 00:33:05
好现好。
说话人2 00:33:19
这个时候呢。
说话人1 00:33:20
我们可以把这个工笔来看，那么这个时候有以下的几种可能。
说话人2 00:33:24
第一种可能呢，就是。Eight.
说话人1 00:33:29
可以，不矛盾。
说话人2 00:33:45
好，那么这种情况下呢，我们就三信产品。
说话人1 00:33:51
好，第二种情况呢，就是A有矛盾，但是呢。
说话人2 00:33:57
非。
说话人3 00:33:59
咳。
说话人1 00:34:02
无矛盾。
说话人2 00:34:04
好。
说话人1 00:34:04
那么在这一种情况下呢。
说话人3 00:34:06
我们就说这个A是负一个别好。
说话人2 00:34:14
接下第三种就是A有矛盾。
说话人1 00:34:22
非也是有矛盾的好。
说话人2 00:34:27
这一种我们就成什么呢？
说话人1 00:34:29
我们就称A是一个悖论。好，请大家注意，我们这个公理系统里面，你只要能够构造出一个悖论的话，就说明这个公理体系的是有。当然还有第四种情况。
说话人3 00:34:46
就是A是无矛盾的。
说话人2 00:34:49
A也是无矛盾的。
说话人1 00:34:52
好，那么在这种情况下呢。
说话人2 00:34:54
我们就称这个A是不可判定的。
说话人3 00:35:07
好。
说话人1 00:35:11
这一种情况的话呢。
说话人2 00:35:12
我们现在是不希望发生1，而这一种情况的话呢，如果出现了。
说话人1 00:35:19
就说明呢，这个A是一个新的一动能，我们可以把它征服了1。
说话人2 00:35:25
好。
说话人1 00:35:25
你比方说平行公式的话呢，相对于欧氏几何去掉主平行公式的部分的话，它其实就是一个不可判定的一个。
说话人2 00:35:34
就是你假设平行公正成立。
说话人1 00:35:36
那么与其他公正处理是没有矛盾的。你假设平行公正不成立，他也没有成功。
说话人2 00:35:42
所以说在这种情况下。
说话人1 00:35:44
我们把它叫做平均公式是不可判定，既然不可判定的话。
说话人2 00:35:49
那你还是就把它。好了。
说话人1 00:35:52
那么如果有一种理想的情况下，那就是既没有悖论，那么所有命题都都不可能悖论，也没有不可判断的证据。
说话人3 00:36:00
那么我们就说这样的一个一体系完好希尔伯特的想法。
说话人1 00:36:11
就是说我们能不能够。在所有的学科里面都找到一个完备的一个工具体系。而且，希尔伯特还提出。公理体系的话呢，无矛盾性呢，是非常非常重要的一个公理体系呢，它可以不完备，不完备那说明我们还有探索的余地，但是呢，有矛盾是万万不能解释的。
所以说希尔伯特提出了一种方案，他能不能够从一个公理体系自身去证明他自身是不够的。
说话人2 00:36:48
希尔，希尔伯特的刚提出这纲领之后不久。
说话人1 00:36:51
当时呢，有一段时间里面的确取得了令人振奋的一些进展，有的数学家就证明了数理逻辑的某一些公理体系的话呢，它的确是完备的，而且它可以从自身证明他自身呢，是没有矛盾的。这个进展的话呢，曾经令令这个希尔摩很欢心，但是很可惜的是，他这种高兴劲儿的话呢，没有持续几年就被无情的给。
当时也是一个年轻人。他是一个奥地利裔的一个美国数学家。
说话人2 00:37:33
叫做哥德尔。
说话人1 00:37:35
哥德尔的话呢，他证明了一个非常有名的一个定理，叫做哥德尔不完备性定理，哥德尔不完备性定理呢，说的是什么？他说的是这样的一个结论。就是我们给定一个公理系统，这个公理系统呢，要满足一定的条件。
什么条件呢？就是说这个公理系统呢，能够定义自然数。就是我们定一二三四五六七八九十这些全体自然数，这个条件其实是很多的一个条件。请大家想一想，如果说我们哪天数学，你说我们连自然数都不能研究了，那你说这个我们研究的还是数学了。
显然我们在座每一个同学不会觉得这个东西研究是数学，但是呢，就在这样的一个非常弱的一个条件下面，哥德尔就可以证明这样的一个公理系统的话呢。他的无矛未性和完备性是不可能兼而有之的。
说话人2 00:38:40
就是说。
说话人1 00:38:40
你如果假设他完备的话，那么里面你必然能够找到一个悖论，这个显然大家不能接受。但是呢，你如果要能够消除悖论的话呢，你就必然可以得到一套新的供给体系的特征创新。大家也一许想，新的供能体系，我们补充到原有的供给体系怎么样呢，但是呢，这个问题不解决，因为你补充过去之后的话呢。
它还可以进一步证明可以找到一个新的一个顾客。比如说请大家想一想。
说话人2 00:39:12
如果说一个公理体系的话呢。
说话人1 00:39:17
有10条大家已经觉得这个公理已经很烦了，如果增加了100条，1000条的话呢，我相信没有一个人会觉得这个公理已经可以接受。但是呢。
说话人2 00:39:26
你如果他最终得出一个结论。
说话人1 00:39:28
要得到无限多条公理，这个公理你就本算完结的话呢，我相信没有任何一个问题。这就说明了吧，这个探索的话呢，是无穷无尽的。
说话人2 00:39:40
而且这个呢。
说话人1 00:39:42
还不是致命的。作为不完备性定理的第二条，才是真真正正让所有的数学家都没有办法接受。
说话人2 00:39:54
就是说。
说话人1 00:39:54
任何一套公理体系，只要它能够定义自然数，那么它的正确性就是它的不。就是它的无矛盾性是没有办法通过它自身去证据，这个就说明什么呢？我们的的确确可以假释欧式几何没有矛盾，推出非欧几何没有矛盾，也可以假释算术公理体系没有矛盾，推出欧式几何公理体系没有矛盾，这个没有问题。
你也可以假设集合论公理体系没有矛盾的情况下，你可以推出算术公理体系，没有矛盾，这些都没有问题。但是呢，为什么最初你假设这个功率体系没有矛盾一定是正确的呢？有没有可能过来几百上千年，突然出现了一个数学天才，通过精妙的推理，在这个公理体系里面找到了一个新的一个悖论。
说明这个公理体系是有矛盾的一个公理体系了。这个人的的确确在数学史上面已经发现过了，要不然也没有三次数学晰了。
说话人2 00:41:01
但是我们现在无法确定的是。
说话人1 00:41:05
第三次数学晰是不是最后一次数学晰，会不会这个世界上它有无穷无尽的数学晰在等着我们，这个任何一个数学家都没有办法建行这样的一个判断。
说话人2 00:41:21
所以说。
说话人1 00:41:22
任何一个数学，都必然要面临这样的一个终极拷问。
说话人2 00:41:27
如果说真的有这么一天。
说话人1 00:41:30
有一个数学天才发现了我们现在的公理体系是有矛盾的。我们现在人类发展了几千年的数学命题呢。
说话人2 00:41:38
一大部分都要推倒重来。
说话人1 00:41:41
那么我们说一下这从何感一想？也许呢，这个世界呢。
说话人2 00:41:53
本质上呢，就是一个完美的。
说话人1 00:41:57
我们知道雪花是晶莹的。
说话人2 00:42:01
但是呢。
说话人1 00:42:02
再晶莹的雪花在阳光的照射下面就会发现。
说话人2 00:42:09
我们知道秋叶是绚烂的。
说话人1 00:42:11
但是再绚烂的秋叶永远也看不到春光烂漫。
说话人2 00:42:17
对于数学来说。
说话人1 00:42:18
我们也发现了理性精神非常重要。但是呢，从理性精神本身呢，它的的确确不能够确保它永远不会变。
说话人2 00:42:27
而且。
说话人1 00:42:28
从我们可以从理性精神本身就说明这个理性精神不可能达到完美。但是呢，不完美就是我们不追求的这样一个理。
说话人2 00:42:37
那这个恰恰不是尽管已经技论是不完美的。
说话人1 00:42:41
但是呢，当每一次数学晰爆发以后的话呢，我们能够克服这个晰，而最终让这个数学理论发展到新的高度的话呢。
说话人2 00:42:52
我们恰恰要借人我们知道每一个人的生命都有终点。
说话人1 00:42:58
那么对于这个人类来说也终有灭亡二的一分。
说话人2 00:43:03
但是呢。
说话人1 00:43:04
我们对于这个理性精神的追求，对于这个数学殿堂的建造。
说话人2 00:43:10
他们可以说永远也到不了一个尽头。
说话人1 00:43:14
尽管到不了尽头，但是呢，这一点也值得每一个数学人为一之沃过的群奉献自己的一生。在本节课的最后的话呢，那么我想以一首歌来献上的那些，尽管知道永远也到不了终点，但是呢，却默默为之奉献的。
每一个平凡的数学人。
说话人2 00:43:39
难得我像雪花，一朵雪。